\chapter{有限元方法应用于二维电磁情况}
\section{引论}
在这一章中，我们将把上一章中提出的FEM概念应用到二维EM问题中。

我们将使用Galerkin方法作为支撑。事实上，现在有一种强烈的倾向是使用这种方法而不是变分方法，即使对于用变分法经典表述的静态情况也是如此。主要原因是由于Galerkin方法可以直接从定义现象的物理方程出发建立数值公式，而不是一个可能或不容易建立的泛函。

我们将呈现两组问题，从经典的静态案例开始。第二部分是与涡流相关的内容。轴对称性和非线性也将得到解释。

\section{一些稳态情况}
这里提出的案例在时间上被认为是静态的。虽然，初看起来这可能是(因为大多数设备都有运动部件,或者在时间依赖的条件下运行)的一个重要限制，但有许多情况下，动态问题可以作为静态问题的组合来研究。
这里利用麦克斯韦方程组建立二阶偏微分方程(拉普拉斯和泊松方程)与具体物理现象相关联。而不是用场变量来指定方程，我们使用标量势和矢量势作为主要变量。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig4_1}
	\caption{利用电标量势解决了一个问题。求解域包括电介质材料和边界\ $A$ 和\ $B$ 上指定电压的电荷。}
	\label{fig:4_1}
\end{figure}

\subsection{静电场: 介电材料}

考虑如图\ref{fig:4_1}所示的情形，其中所研究的区域包含几种具有不同介电常数``$\varepsilon$''的电介质。
在\ $A$ 线和\ $B$ 线上施加电势\ $V_a$ 和\ $V_b$。
假设在区域内部存在一个由体电荷密度\ $p$ 定义的静电荷\ $q$.
由于\ $rot\textbf{E} = 0$ 是一个标量电势\ $V(伏特)$，与电场强度\ $\textbf{E}$ 相关联为
\begin{equation}\label{eq:4_1}
	\textbf{E} = -grad V
\end{equation}
同样, 因为
\begin{equation}\label{eq:4_2}
	div\textbf{D} = \rho
\end{equation}
然后利用本构关系
\begin{equation}\label{eq:4_3}
	\textbf{D} = \varepsilon\textbf{E}
\end{equation}
我们有
$$
div\varepsilon\textbf{E} = \rho
$$
或者使用势表示为
$$
div \varepsilon(-gradV) = \rho
$$
其中在二维(2D)中显式形式为
\begin{equation}\label{eq:4_4}
	\dfrac{\partial}{\partial x}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial x}
	+\dfrac{\partial}{\partial y}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial y}=-\rho
\end{equation}

这就是描述区域内电势分布的Poisson方程。
如果域中只包含一种材料，则介电常数可以认为是常数，我们得到
\begin{equation}\label{eq:4_5}
	\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}
	+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}=
	-\dfrac{\rho}{\varepsilon}
\end{equation}


在实际的电气工程问题中，电荷密度往往为零。在这种情况下，式\eqref{eq:4_4} 转化为拉普拉斯方程:
\begin{equation*}
	\dfrac{\partial}{\partial x}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial x}
	+\dfrac{\partial}{\partial y}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial y}=0
\end{equation*}
这里，场的来源是作为势(在\ $A$ 线和\ $B$ 线上)施加的边界条件。
相比之下，式\eqref{eq:4_5}中，场也可以由电荷密度\ $\rho$ 产生。

一般方程\eqref{eq:4_4} 的矩阵项的计算已经在上一章中得到.对于一个一阶单元:
\begin{itemize}
	\item 对于项\ $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}$:
	\begin{equation}\label{eq:4_6}
		\dfrac{\varepsilon}{2D}\begin{bmatrix}
			q_1q_1 + r_1 r_1 & q_1 q_2 + r_1r_2 & q_1q_3 + r_1r_3 \\
			symmetric & q_2q_2 + r_2r_2 & q_2q_3 + r_2r_3\\
			symmetric & symmetric & q_3q_3 + r_3r_3
		\end{bmatrix}
	\end{equation}
	利用先前定义的记号，这个矩阵必须在矩阵系统的左边组装，因为它乘以\ $V$。
	\item 对\ $\rho$
	$$
	\dfrac{\rho D}{6}\begin{bmatrix}
		1 \\ 1 \\ 1
	\end{bmatrix}
	$$
	它应该组装在矩阵系统的右边向量中。
\end{itemize}
\subsection{恒定电流: 导电材料}
